ამოცანები

ამ პოსტში რამდენიმე “ლამაზი” ამოცანა მინდა განვიხილო, რომლებიც ძალიან მომწონს, რადგან ხარისხები, გამარტივებები და ასე შემდეგ – ჩემი ჰობია.

ამოცანაში გამოვიყენეთ წინა პოსტში ახსნილი ჯამის კვადრატისა და კვადრატების სხვაობის ფორმულები.  2 ხარისხად 62 წარმოვადგინეთ ორი თანამამრავლის ნამრავლის სახით, რომელთაგან ერთერთი, სწორედ ჩვენთვის საინტერესო რიცხვია. ასეთ ამოცანებში ყოველთვის უნდა ეცადოთ გამოსახულება მამრავლებად დაშალოთ, შეავსოთ სრულ კვადრატამდე, ან დაიყვანოთ რაიმე ნამრავლამდე… განვიხილოთ კიდევ ერთი გამოსახულება, სადაც ისევ იგივე მეთოდია საჭირო.

თუმცა კი ეს ამ ამოცანის ამოხსნის ერთადერთი ხერხი ნამდვილად არ არის. შესაძლებელია x+y=3-იდან განვსაზღვროთ ერთერთი მათგანი და შევიტანოთ ზემოთ მოცემულ განტოლებაში. მაგალითდ ასე: x=3-y და ყველგან სადაც წერია x, ჩავწერთ 3-y-ს. თუმცა კი ასე უფრო გართულდება ამოცანა.

მაგრამ ხანდახან ბედი გაგვიღიმებს ხოლმე და კიდევ უფრო ადვილადაც შეიძლება ამოხსნა. მაგალითდ: გავამავრავლოთ (x+y) (2x-y)-ზე და ვნახოთ რას მივიღებთ.

და ბოლოს, კიდევ ერთი სახის მაგალითებს განვიხილავ. მაგალითად: დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი 4 ერთმანეთის მომდევნო ნატურალური რიცხვის ნამრავლი გადიდებული ერთით, წარმოადგენს რაიმე ნატურალური რიცხვის კვადრატს. კი ბატონო. :)

ანუ ოთხი მომდევნო ნატურალური რიცხვის ნამრავლი გადიდებული ერთით, რაიმე ნატურალური რიცხვის კვადრატია. :)

Posted in Uncategorized | 3 Comments

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

ეს ის საკითხია, რომელიც ერთ დროს ძალიან მიყვარდა მათემატიკაში და იმდენად კარგად ავითვისე, რომ ძალიან ხშირად ვიყენებ. ერთი შეხედვით ძალიან მარტივია (ალბათ ასეც არის :) ), და ძალიან გამოყენებადიც. მაშ ასე:

ჯამის და სხვაობის კვადრატის გამოსათვლელი ფორმულები:

 

 

 

 

არა მხოლოდ ორი რიცხვის ჯამი იშლება, არამედ ნებისმიერი რაოდენობის შესაკრები: 

 

 

კვადრატების ჯამისა და სხვაობის გამოსათვლელი ფორმულები:

 

 

 

 

ჯამის და სხვაობის კუბის ფორმულები:

 

 

 

 

კუბების ჯამის და სხვაობის ფორმულები:

 

 

 

 

ახლა კი პოსტის აზრი რომ შევძინო, იმასაც გაგიმხელთ, როგორ მოიგონეს ეს ფორმულები.ამისათვის საჭიროა მოვიშველიოთ ნიუტონის ბინომი და პასკალი ცხრილი.

ალბათ შეამჩნიეთ, რომ ამ ფორმულებში a-ს ხარისხები ერთით იკლებს, ხოლო b-ს ხარისხები ერთით იმატებს, ამთვისების გამო ძნელი არ არის დავწეროთ ორწევრის ნებისმიერი ხარისხი, თუ გვეცოდინება შესაკრებთა კოეფიციენტები. ეს კოეფიციენტები კი შეიძლება შემდეგი ცხრილით გამოვთვალოთ:

ეს არის პასკალის ცხრილი, რომლის რიცხვები შემდეგნაირად მიიღება: ზედა ორის ჯამი იწერება მათ ქვეშ.

ორწევრის ნებისმიერი ხარისხის გამოსათვლელად არსებობს ფორმულა რომელსაც ნიუტონის ბინომი ეწოდება და რომელსაც აქვს სახე: 

 გამოითვლება ფორმულით 

ნიუტონის ბინომის ასახსნელად და დასამტკიცებლად შემდეგ პოსტში ჯერ ინდუქციას აგიხსნით, და სიმრავლეები დაგვჭირდება აგრეთვე.

Posted in Uncategorized | 8 Comments

გაყოფადობის ნიშნები

ხშირად ერთი ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფის გარეშეც შეგვიძლია გავიგოთ, ეს რიცხვი იყოფა თუ არა მეორეზე. ამაში გვეხმარება გაყოფადობის ნიშანები.

ა) ვთქვათ გვაქვს რამდენიმე რიცხვის ჯამი, თუ თითოეული შესაკრები იყოფა მოცემულ რიცხვზე, მაშინ ჯამიც გაიყოფა ამ რიცხვზე.მაგალითად შეკრების გარეშეც ადვილად დაადგენთ, რომ 18+54+63 იყოფა 9-ზე, რადგან თითოეული შესაკრები იყოფა 9-ზე. მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ თუ არც ერთი შესაკრები არ იყოფა მოცემულ რიცხვზე, არც ჯამი გაიყოფა. მაგალითად: 41+7, არც ერთი რიცხვი არ იყოფა 8-ზე, მაგრამ ჯამი 48 ანუ ჯამი, იყოფა 8-ზე. ესე იგი ეს ნიშანი საკმარისია, მაგრამ არა აუცილებელი.

ბ) ვთქვათ გვაქვს რამდენიმე რიცხვის ნამრავლი, თუ ერთერთი თანამამრავლი მაინც იყოფა მოცემულ რიცხვზე, მაშინ ნამრავლიც გაიყოფა. მაგალითად: 17x21x14 იყოფა 7-ზე, რადგან 14 იყოფა 7-ზე. ასევე ეს ნიშანიც, საკმარისია, მაგრამ არა აუცილებელი, რადგან მაგალითდ 12×18 იყოფა 36-ზე, მიუხედავად იმისა, რომ არც 12 და არც 18 36-ზე არ იყოფა.

ახლა კი კონკრეტულ რიცხვებზე განვიხილოთ გაყოფადობის ნიშნები:

  • 1-ზე ყველა რიცხვი იყოფა, მასზე გაყოფა რიცხვს არ ცვლის.
  • 2-ზე იყოფა ყველა ლუწი რიცხვი (ან ყველა 2-ით დაბოლოებული რიცხვი)
  • 3-ზე იყოფა ის რიცხვები, რომელთა ციფრთა ჯამიც იყოფა 3-ზე (მაგალითად: 243. 2+4+3=9 9 იყოფა 3-ზე, ე.ი. 243 იყოფა 3-ზე)
  • 4-ზე იყოფა ყველა ის რიცხვი, რომლის ბოლო ორი ციფრისგან შემდგარი რიცხვიც იყოფა 4-ზე (4 ხომ 2-ის მეორე ხარიხსია); მაგალითად: 724. 24 იყოფა 4-ზე, ე.ი. 724-იც იყოფა 4-ზე.
  • 5-ზე იყოფა ყველა ის რიცხვი, რომელიც ბოლოვდება 5-ით, ან 0-ით.
  • 6-ზე იყოფა ის ლუწი რიცხვები, რომელთა ციფრთა ჯამიც იყოფა 3-ზე. ანუ რიცხვი რომ 6-ზე გაიყოს, 2-ზეც უნდა იყოფოდეს და 3-ზეც. (6 ხომ 2ჯერ 3-ია).
  • 7-ზე რომ იყოფოდეს რიცხვი, ამ რიცხვის ერთეულების წინ მდგომ რიცხვს გამოკლებული გაორკეცებული ერთეულების ციფრი, უნდა იყოფოდეს 7-ზე. მაგალითად: 392. ერთეულების წინ მდგომ რიცხვს, ანუ 39-ს, უნდა გამოვაკლოთ გაორკეცებული ერთეულების ციფრი ანუ 4 (2*2). 39-4=35 35 იყოფა 7-ზე, ე.ი 392-იც იყოფა 7-ზე. კიდევ ერთი მაგალითი: 2583. 258-6=252 არ ვიცით 252 იყოფა თუ არა 7-ზე, კიდევ შევასრულოთ იგივე წესი: 25-4=21 21 იყოფა 7-ზე, ე.ი. 2583 იყოფა 7-ზე.
  • 8-ზე რომ გაიყოს რიცხვი, მისი ბოლო სამი ციფრისგან შემდგარი რიცხვი უნდა გაიყოს 8-ზე (8 ხომ 2-ის მესამე ხარიხსია)
  • 9-ზე იყოფა ის რიცხვები, რომელთა ციფრთა ჯამიც იყოფა 9-ზე (მაგალითად: 2583. 2+5+8+3=18 _ 1+8=9 ე.ი. 2583 იყოფა 9-ზე)
  • 10-ზე იყოფა 0-ით დაბოლოებული რიცხვები.
  • 11-ზე რომ გაიყოს რიცხვი, ამ რიცხვის კენტ ადგილას მდგომ ციფრთა ჯამს გამოკლებული ლუწ ადგილას მდგომ ციფრთა ჯამი უნდა გაიყოს 11-ზე. (შესაძლებელია მიიღოთ უარყოფითი რიცხვი, რომელიც იყოფა 11-ზე, ეს არაფერს ცვლის, მოცემული რიცხვი მაინც იყოფა 11-ზე. აგრეთვე შესაძლებელია მიიღოთ 0, და ამ შემთხვევაშიც იყოფა რიცხვი 11-ზე.) მაგალითად: 76542422. 7+5+2+2=16; 6+4+4+2=16; 16-16=0 ეს რიცხვი იყოფა 11-ზე.

სულ ეს იყო. :) თუ რაიმე გაუგებრად მოგეჩვენათ, კომენტარებში მომმართეთ.

Posted in Uncategorized | 19 Comments

პირველი მცდელობა

პირველივე პოსტი არ მინდოდა ტრაფარეტული და მშრალად მათემატიკური ყოფილიყო, ამიტომაც ცოტა სახალისო პოსტის დაწერა გადავწყვიტე. :)

_ნავში იჯდა 99 ქალი, ნავი გადაყირავდა. რამდენი ქალი დარჩა ნავში?

_ 66.

შეგახსენებთ, რომ ეს ლამაზი მოცეკვავე სწორედ მის ქვეშ გამოსახულ ფუნქციების გრაფიკებს იყენებს სამოძრაოდ.

საბრალოს მართლაც ბევრი პრობლემა აქვს…

ყოფნა არ ყოფნა… საკითხავი აი ეს არის..

ფრიად საჭირბოროტო ცხოვრებისეული ამოცანა

ვისთვის როგორ… :) თუ მკითხველი ჯერაც სკოლაში დადის, მაშინ იცოდეთ რომ უარყოფითი რიცხვიდან ფესვი არ ამოდის. ხოლო თუ სკოლა უკვე დაამთავრეთ, გამცნობთ რომ კომპლექსები რიცხვებსაც აქვთ. :)

ასეც ხდება, არაფრიდან წარმოიშვება რაღაც.

ეხლა, ეს კი ვერაა დიდად მათემატიკური, მაგრამ სამაგიეროდ ტექნიკურია. ტექნიკა მათემატიკის გარეშე ვის გაუგონია? :)

ელემენტარულია უოტსონ! :)

და ვისაც მოსწყინდა მათ გასახარად ვიტყვი, რომ სულ ესაა. :) ამის შემდეგ ვიწყებ ‘სერიოზული’ პოსტების წერას.

;) ;)

Posted in Uncategorized | 17 Comments

ბლოგის შესახებ

დავიწყებ ელემენტარულიდან და სანამ შევძლებ გავართულებ და გავაუმჯობესებ. რაც ვიცი – გაგიზიარებთ, რაც არ ვიცი, ვისწავლი და იმასაც გაგიზიარებთ. :)

თუ ვინმეს აინტერესებს ავტორის შესახებ, მიბრძანდეს აქ.

ბლოგზე მხოლოდ თეორიით არ შემოვიფარგლები, აუცილებლად ამოვხსნით ამოცანებს, იოლებსაც და რთულებსაც.

ბლოგზე შეძლებთ დასვათ კითხვები და შეძლებისდაგვარად მალე მიიღებთ პასუხს, ან ჩემგან, ან ისევ მკითხველისგან, ან არადა მე ვიცი ვისაც მივმართო. :)

ბლოგი გათვლილია სკოლამდელი ასაკის ბავშვებზე და ნებისმიერი ასაკის მოხალისეებზე, ასე რომ უმაღლეს მატემატიკას და ფარდობითობის თეორიას ნუ მომთხოვთ (ცოტა მაგაშიც კი ვერკვევი, რამე რომ იყოს რა).

მოკლედ თუ წამახალისებთ ხომ გამიხარდება და თუ არადა გამოჩნდება ვინმე, ვისაც დასჭირდება ეს ბლოგი. :)

 

Posted in Uncategorized | 7 Comments